1. 函数的定义及基本性质 核心概念 函数（mapping）：将每个输入 x 唯一对应到一个输出 y。 一对一（one‑one）与多对一（many‑one）：一对一要求不同 x 绝不映到同一个 y；多对一则允许。 定义域（domain）与值域（range）：函数输入的集合与输出的集合。 学习历程提示 回顾 IGCSE 时对函数符号 f(x) 的直观理解。 通过热饮冷却、细菌增长等生活实例，体会“函数模型”的意义。 常见误区 忽略隐含域（如分母≠0、根号内非负）。 把任意关系误当函数（垂线测试）。 2. 复合函数 (Composite Functions) 核心概念 fg(x)：先应用 g，再应用 f。 存在条件：g 的值域必须是 f 的定义域子集。 fg(x) ≠ gf(x)（顺序不可颠倒）。 思考引导 分步写出 “先” 和 “后” 的操作顺序，用流程图或箭头标注。 检查每一步结果是否落在下一函数的合法输入范围。 3. 反函数 (Inverse Functions) 核心概念 反函数 f⁻¹(x) “撤销” f(x) 的映射。 求法三步：y = f(x) → 交换 x,y → 解出 y。 存在条件：f 必须是一对一映射。 图像特征 y = f(x) 与 y = f⁻¹(x) 关于直线 y = x 对称。 自反函数（self‑inverse）：f = f⁻¹，其图形自身关于 y=x 对称。 学习历程提示 关注“域 ↔ 值域”在求反函数时的互换关系。 通过具体例子（如 f(x)= (x–2)²+1 限定域）体会“强制一对一”对求反函数的必要性。 4. 图像与反函数的关系 核心概念 同一坐标系下画出 f 与 f⁻¹，两者镜像对称。 用典型点 (a,b) → (b,a) 在图上直观标记。 思考引导 在视频中用动画演示点如何“翻转”到对称位置。 强调 y = x 这一参照线的重要性。 5. 函数图像的几何变换 平移（Translations） y = f(x) + a：向上平移 a（向量 (0,a)） y = f(x – a)：向右平移 a（向量 (a,0)） 反射（Reflections） y = –f(x)：关于 x 轴反射 y = f(–x)：关于 y 轴反射 伸缩（Stretches） y = a·f(x)：垂直伸缩（相对于 x 轴），因子 a y = f(bx)：水平伸缩（相对于 y 轴），因子 1/b 组合变换 垂直+垂直 或 水平+水平：顺序会影响结果。 垂直+水平（或反之）：顺序不影响最终图像 学习历程提示 制作小动画：先做一次平移、再做一次拉伸，让观众看出顺序差异。 用实际函数（如 y = x²）举例，逐步变换并标明对应公式。 视频制作建议 结构清晰：按上面五大模块依次展开，每个模块 2–3 分钟。 视觉辅助：配合动画演示函数变化、复合/反函数的作用顺序和镜像对称。