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同学们,这就是一个直角三角形。它的两条直角边分别是a和b,斜边是c。勾股定理告诉我们,在任何直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方,也就是a²+b²=c²。今天,我们将用一种有趣的方式,通过面积来证明这个伟大的定理。
看,我们用四个完全一样的直角三角形,以及一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形,拼成了一个大正方形。这个大正方形的边长是a加b。这个大正方形的面积,等于里面所有图形的面积之和。所以,大正方形的面积等于a²加b²加2ab。
现在,我们用同样的四个直角三角形,换一种方式来拼。我们将它们拼入同样大小的大正方形中,让它们的斜边朝向中心。看,中间留下了一个正方形的空白区域。这个中间正方形的边长,正好是直角三角形的斜边c。所以,这个大正方形的面积,等于四个三角形的面积加上中间正方形的面积,也就是2ab加c²。
我们用同样的四个三角形,拼出了同样大小的大正方形,只是拼法不同。所以,用两种方法计算出的大正方形面积一定相等!现在,我们看看这个等式。等式两边都有2ab,把它们都去掉。我们就得到了a²加b²等于c²!这就是勾股定理!我们通过面积的计算,直观地证明了它。勾股定理,证明完毕!
勾股定理不仅是一个美妙的数学定理,更在实际生活中有着广泛的应用。在建筑工程中,工程师用它来确保建筑物的垂直和水平;在导航中,用它来计算两点间的直线距离;在物理学中,用它来分析力的分解和合成。例如,在一个直角三角形中,如果两条直角边分别是3和4,那么斜边就是5,因为3²加4²等于5²,即9加16等于25。这就是著名的3-4-5直角三角形,是勾股定理最经典的例子之一。