Introduce some concepts of abstract algebra, such as inverse image, function combination, bijection, equivalence relation, and quotient set

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原像是抽象代数中的重要概念。设 f 是从集合 A 到集合 B 的函数，对于 B 的子集 Y，Y 在 f 下的原像记作 f 的负一次方 Y，定义为集合 A 中所有映射到 Y 中的元素的集合。需要注意的是，这里的 f 负一次方表示原像操作，而不是逆函数。 函数复合是将两个函数连接起来的操作。设 f 是从集合 A 到集合 B 的函数，g 是从集合 B 到集合 C 的函数，那么复合函数 g 复合 f 是从 A 到 C 的函数。对于任意 x 属于 A，复合函数的值定义为 g 作用于 f 作用于 x 的结果。复合的顺序很重要，先应用右边的函数 f，再应用左边的函数 g。 双射是同时满足单射和满射的函数。单射意味着不同的输入对应不同的输出，满射意味着每个输出都有对应的输入。双射函数的重要性质是它是可逆的，即存在一个逆函数，使得函数和其逆函数的复合等于恒等函数。这在抽象代数中建立了集合之间的一一对应关系。 等价关系是集合上的一种特殊二元关系，它必须满足三个重要性质。自反性要求每个元素都与自己等价，对称性要求如果 x 与 y 等价，那么 y 也与 x 等价，传递性要求如果 x 与 y 等价且 y 与 z 等价，那么 x 与 z 也等价。等价关系将集合划分为互不相交的等价类，每个等价类包含所有相互等价的元素。 商集是等价关系的重要应用。对于集合 S 上的等价关系，每个元素 x 的等价类记作方括号 x，包含所有与 x 等价的元素。商集 S 除以等价关系，是由所有等价类组成的新集合。商集的每个元素都是原集合的一个等价类，这样就将原集合按等价关系进行了分类。商集在抽象代数中用于构造新的代数结构，是群论、环论等领域的基础工具。