视频字幕
二重积分是单变量函数定积分在二维空间上的推广。对于二元函数f(x,y)，我们要在平面区域R上进行积分。几何上，如果函数值非负，二重积分表示以区域R为底面，以曲面z等于f(x,y)为顶面的立体体积。
从几何角度看，当函数f(x,y)非负时，二重积分的值等于由曲面z等于f(x,y)作为顶面、平面区域R作为底面、以及连接边界的垂直侧面所围成的立体的体积。这个立体可以想象成一个变化高度的柱体。
计算二重积分最常用的方法是逐次积分。我们可以先固定x，对y从c(x)到d(x)积分，然后再对x从a到b积分。或者反过来，先固定y，对x积分，再对y积分。关键是要正确确定积分区域的边界。
积分区域的描述方式很重要。对于X型区域，我们先确定x的范围，然后对每个x值确定y的范围。对于Y型区域则相反。有些复杂区域可能需要分割成几个简单区域分别计算。选择合适的积分次序可以大大简化计算。
二重积分在数学和物理中有广泛应用。最基本的应用是计算面积，当被积函数为1时，二重积分就等于积分区域的面积。在物理中，可以用来计算质量、质心、转动惯量等。在工程中，可以计算压力、流量等物理量。二重积分是连接几何与分析的重要工具。
从几何角度理解，当被积函数f(x,y)非负时，二重积分具有明确的几何意义。它表示以平面区域R为底面，以曲面z等于f(x,y)为顶面，以及连接底面边界到曲面的垂直侧面所围成的立体体积。这个立体可以想象成一个高度变化的柱体，每一点的高度由函数值决定。
计算二重积分的主要方法是逐次积分。我们可以选择两种积分顺序：先对y积分再对x积分，或者先对x积分再对y积分。对于给定的积分区域，我们需要确定每个变量的积分上下限。选择合适的积分顺序可以大大简化计算过程。
让我们通过一个具体例子来演示二重积分的计算过程。计算函数f(x,y)等于xy在三角形区域D上的二重积分，其中D由x轴、直线x等于2和直线y等于x围成。我们选择先对y积分再对x积分的顺序，最终得到积分值为2。
二重积分在数学和物理中有广泛的应用。最基本的应用是计算平面图形的面积，当被积函数为1时，积分值就是区域面积。在物理中，可以计算质量分布、质心位置和转动惯量。在工程中，用于计算压力、流量等。二重积分是连接几何与物理的重要数学工具。