Resuélvelo---**Question Stem:**
Sea f(x) = 1 / (x - 1) y el conjunto S = {x ∈ ℝ \ {1} | |f(x)| ≤ 1/2}.
Además, g(x) = 2x₀f(x) + b, donde x₀ es tal que f(x₀) es máximo sobre S y g(3) = 5. Determine el valor de g(2) + b.
**Options:**
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 15
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Comenzamos analizando la función f(x) = 1 dividido por x menos 1. Esta función tiene una asíntota vertical en x = 1 y una asíntota horizontal en y = 0. Necesitamos encontrar el conjunto S donde el valor absoluto de f(x) es menor o igual a un medio.
Para resolver la desigualdad, primero escribimos el valor absoluto de 1 sobre x menos 1 menor o igual a un medio. Esto es equivalente a 1 sobre el valor absoluto de x menos 1 menor o igual a un medio. Invirtiendo ambos lados, obtenemos que el valor absoluto de x menos 1 debe ser mayor o igual a 2. Esto significa que x menos 1 es mayor o igual a 2, o x menos 1 es menor o igual a menos 2. Por tanto, x es mayor o igual a 3, o x es menor o igual a menos 1. El conjunto S es la unión de menos infinito a menos 1, y de 3 a infinito.
Ahora necesitamos encontrar el valor máximo de f(x) en el conjunto S. Analizamos cada intervalo por separado. En el intervalo de 3 a infinito, f(x) es decreciente, por lo que el máximo ocurre en x = 3, donde f(3) = 1/2. En el intervalo de menos infinito a menos 1, f(x) es creciente, por lo que el máximo ocurre en x = -1, donde f(-1) = -1/2. Comparando ambos valores, el máximo global es 1/2, que ocurre en x = 3. Por tanto, x₀ = 3.
Ahora determinamos la función g(x). Sabemos que g(x) = 2x₀f(x) + b, y como x₀ = 3, tenemos g(x) = 6f(x) + b. Sustituyendo f(x), obtenemos g(x) = 6 dividido por x menos 1, más b. Para encontrar b, usamos la condición g(3) = 5. Calculamos g(3) = 6 dividido por 2, más b, que es 3 + b. Como esto debe ser igual a 5, tenemos que b = 2. Por tanto, g(x) = 6 dividido por x menos 1, más 2.
Finalmente, calculamos g(2) + b. Con la función g(x) = 6 dividido por x menos 1, más 2, y b = 2, calculamos g(2). Sustituyendo x = 2, obtenemos g(2) = 6 dividido por 1, más 2, que es 6 + 2 = 8. Por tanto, g(2) + b = 8 + 2 = 10. La respuesta correcta es la opción B, que es 10.