视频字幕
图像的数学变换是数字图像处理中的基础技术。本章将介绍三种主要的变换方法：几何变换用于改变图像的空间关系，傅里叶变换将图像从空间域转换到频域进行分析，离散余弦变换则广泛应用于图像压缩。这些变换为图像处理提供了强大的数学工具。
几何变换是图像处理中最基本的操作之一。平移变换将图像整体移动到新位置，缩放变换改变图像的大小，旋转变换使图像绕某个点旋转。由于变换后的坐标可能不是整数，需要使用灰度级插值方法，如最近邻插值和双线性插值来确定新像素的灰度值。
傅里叶变换是图像处理中的重要工具，它将图像从空间域转换到频域进行分析。通过一维和二维离散傅里叶变换，我们可以获得图像的频率成分信息。频域中的直流分量表示图像的平均亮度，而频谱则显示了不同频率成分的分布，这对图像滤波和压缩非常有用。
离散余弦变换是图像压缩中的关键技术，特别是JPEG标准的基础。DCT将图像块转换为频率系数，具有良好的能量集中特性，大部分能量集中在低频系数中。左上角的DC分量表示平均值，其他AC分量表示不同频率的信息。相比傅里叶变换，DCT只需要实数运算，更适合实际应用。
图像的数学变换为数字图像处理提供了强大的理论基础和实用工具。几何变换用于图像配准和校正，傅里叶变换实现频域分析和滤波，离散余弦变换则是图像压缩的核心技术。这些变换方法在计算机视觉、医学影像、遥感图像处理等众多领域都有广泛应用，是现代图像处理技术不可或缺的数学工具。