勾股定理，也稱為畢氏定理，是平面幾何中的一個基本定理。它描述了直角三角形三邊長之間的關係。在任意一個直角三角形中，兩條直角邊長度的平方和，等於斜邊長度的平方。用數學公式表示就是 a 的平方加 b 的平方等於 c 的平方。
我們可以用幾何方法證明勾股定理。構造一個邊長為 a 加 b 的大正方形，內部放置四個相同的直角三角形，中央形成一個邊長為 c 的小正方形。大正方形的面積等於四個三角形的面積加上小正方形的面積。通過面積計算，我們得到 a 加 b 的平方等於四倍的二分之一 a b 加 c 的平方，化簡後得到 a 的平方加 b 的平方等於 c 的平方。
勾股定理在實際生活中有廣泛應用。在建築工程中，工人使用三四五三角形來確保建築物的垂直度。在導航定位中，可以計算兩點間的直線距離。在工程測量中，可以測量無法直接到達的距離。例如，當我們知道直角邊長度為3和4時，可以計算出斜邊長度。c的平方等於3的平方加4的平方，等於9加16等於25，因此c等於根號25等於5。
勾股數，也稱為畢氏三元組，是滿足勾股定理的正整數組合。最著名的勾股數是三、四、五，其中三的平方加四的平方等於九加十六等於二十五，正好等於五的平方。其他常見的勾股數還包括五、十二、十三，以及八、十五、十七等。這些特殊的數組在古代建築和測量中被廣泛使用，因為它們容易記憶且計算簡便，工匠們可以用繩子打結來快速構造直角。