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立方差公式是代数中的一个重要恒等式。它表示两个数的立方差可以分解为两个因式的乘积。公式为：a的三次方减去b的三次方，等于a减b乘以a的平方加ab加b的平方。这个公式在代数运算和因式分解中有广泛应用。
现在我们开始推导立方差公式。第一步是展开公式右边的乘积。我们有括号a减b乘以括号a的平方加ab加b的平方。使用分配律，第一个括号中的每一项都要乘以第二个括号中的每一项。首先用a乘以整个第二个括号，然后用负b乘以整个第二个括号。继续展开，我们得到a乘以a的平方，a乘以ab，a乘以b的平方，减去b乘以a的平方，b乘以ab，b乘以b的平方。最终得到a的三次方加a的平方b加ab的平方减a的平方b减ab的平方减b的三次方。
第二步是合并同类项。在展开式中，我们可以看到a的平方b项出现了两次，一次是正的，一次是负的，它们相互抵消等于零。同样，ab的平方项也出现了两次，一次是正的，一次是负的，它们也相互抵消等于零。抵消这些项后，只剩下a的三次方和负b的三次方。因此我们得到a的三次方减b的三次方。这样就证明了括号a减b乘以括号a的平方加ab加b的平方等于a的三次方减b的三次方。
为了验证我们的推导是否正确，让我们用具体的数值来检验。设a等于3，b等于2。首先计算左边：a的三次方减b的三次方等于3的三次方减2的三次方，等于27减8，等于19。然后计算右边：括号a减b乘以括号a的平方加ab加b的平方，等于括号3减2乘以括号3的平方加3乘以2加2的平方，等于1乘以括号9加6加4，等于1乘以19，等于19。我们可以看到左边等于右边都等于19，这验证了我们的立方差公式是正确的。
通过以上推导，我们完成了立方差公式的证明。立方差公式a的三次方减b的三次方等于括号a减b乘以括号a的平方加ab加b的平方，是代数中的重要工具。与之相关的还有立方和公式：a的三次方加b的三次方等于括号a加b乘以括号a的平方减ab加b的平方。这些公式在因式分解中非常有用，比如x的三次方减8可以分解为括号x减2乘以括号x的平方加2x加4。掌握这些公式有助于我们解决更复杂的代数问题。