我们需要求解超越方程 x 减 1 加 12e 的负 x 次方等于 e 的 x 次方。首先将方程整理为标准形式，令 f(x) 等于 x 减 1 加 12e 的负 x 次方减去 e 的 x 次方等于 0。这是一个超越方程，无法用初等函数表示精确解，需要数值方法求解。
接下来分析函数的单调性。计算 f(x) 的导数，得到 f'(x) 等于 1 减 12e 的负 x 次方减去 e 的 x 次方。根据算术几何平均不等式，12e 的负 x 次方加上 e 的 x 次方大于等于 4 倍根号 3，约等于 6.928。因此 f'(x) 恒小于 0，说明函数 f(x) 在整个定义域上严格单调递减。
现在用介值定理验证解的存在性。计算 f(1) 等于 1 减 1 加 12e 的负 1 次方减去 e 的 1 次方，约等于 1.69，大于 0。计算 f(2) 等于 2 减 1 加 12e 的负 2 次方减去 e 的 2 次方，约等于负 4.77，小于 0。由于函数连续且 f(1) 大于 0，f(2) 小于 0，根据介值定理，在区间 (1, 2) 内必存在零点。结合函数单调递减的性质，该零点是唯一的。
由于这是超越方程，我们使用数值方法求解。牛顿法是一种高效的迭代方法，其公式为 x 下标 n 加 1 等于 x 下标 n 减去 f(x 下标 n) 除以 f'(x 下标 n)。从初值 x0 等于 1.5 开始，第一次迭代得到 x1 约等于 1.2917，第二次迭代得到 x2 约等于 1.2833。可以看到牛顿法快速收敛到精确解 x 约等于 1.2833。
最后总结求解过程。原方程 x 减 1 加 12e 的负 x 次方等于 e 的 x 次方是一个超越方程。通过分析函数的单调性，我们确定了解的唯一性。利用介值定理确定了解的存在区间。最终通过牛顿法数值计算得到解 x 约等于 1.2833。验证结果显示左右两边都约等于 3.6，确认解的正确性。这类超越方程无法用初等函数表示封闭解，必须依靠数值方法求解。