雙曲線函數是數學中的一類特殊函數，與三角函數有相似的性質和恆等式，但它們的定義與單位雙曲線有關。單位雙曲線的方程是 x 平方減 y 平方等於 1，這與單位圓的方程 x 平方加 y 平方等於 1 形成對比。
最基本的雙曲線函數是雙曲正弦和雙曲餘弦。雙曲正弦定義為 e 的 x 次方減去 e 的負 x 次方，再除以 2。雙曲餘弦定義為 e 的 x 次方加上 e 的負 x 次方，再除以 2。雙曲正切則等於雙曲正弦除以雙曲餘弦。從圖像可以看出，雙曲正弦是奇函數，而雙曲餘弦是偶函數。
雙曲線函數有許多重要的性質。最基本的恆等式是 cosh 平方 x 減去 sinh 平方 x 等於 1，這與三角函數的勾股恆等式類似。雙曲正弦是奇函數，而雙曲餘弦是偶函數。在單位雙曲線上，點的坐標可以表示為 cosh t 和 sinh t，其中 t 是參數。
雙曲線函數在許多領域都有重要應用。最著名的是懸鏈線，當一條均勻的鏈條或繩索在重力作用下自由懸掛時，它的形狀就是雙曲餘弦函數。此外，雙曲線函數還出現在相對論的速度變換、工程結構分析，以及統計學的某些機率分佈中。這些應用展示了雙曲線函數在描述自然現象和解決實際問題中的重要性。
總結來說，雙曲線函數是基於指數函數定義的一組重要函數。它們具有與三角函數類似的恆等式和性質，但描述的是雙曲線而非圓的幾何關係。雙曲線函數在物理學、工程學和數學分析中都有廣泛的應用，是理解自然現象和解決實際問題的重要數學工具。