What are these concepts of groups, Abelian groups (commutative groups) Subgroups, cosets, normal subgroups, group homomorphisms/isomorphisms Group Function/Business Group

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群是抽象代数中最基本的代数结构之一。一个群由一个非空集合G和一个二元运算星号组成，记作(G,*)。群必须满足四个基本性质：封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。这些性质确保了群具有良好的代数结构。 阿贝尔群是满足交换律的群，即对于群中任意两个元素a和b，都有a乘以b等于b乘以a。子群是原群的一个子集，它在相同的运算下也构成一个群。判断子群的简便方法是：对于子集H中的任意两个元素a和b，a乘以b的逆元仍然在H中。 陪集是群论中的重要概念。对于群G的子群H和元素g，左陪集gH是所有g乘以H中元素的集合。群G可以被其子群H的陪集不相交地划分。正规子群是特殊的子群，其左陪集等于右陪集，即gN等于Ng。正规子群是构造商群的基础。 群同态是保持群运算结构的映射。对于群G到群H的同态f，它满足f(a乘以b)等于f(a)圆圈f(b)。群同构是既是同态又是双射的映射，表示两个群在结构上完全相同。同态的核是映射到H的单位元的所有G中元素的集合，它是G的正规子群。 群论是现代数学的重要分支，在对称性分析、密码学、物理学的晶体结构、化学的分子对称性以及计算机科学等多个领域都有广泛应用。需要注意的是，群函数和业务群这两个概念通常不属于数学群论的范畴，而是其他领域的术语。群论为我们提供了理解和分析各种代数结构的强大工具。