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倍角公式是三角函数中的重要恒等式，它们建立了角度为2θ的三角函数值与角度为θ的三角函数值之间的关系。在单位圆中，我们可以直观地看到角θ和角2θ的位置关系。倍角公式在数学分析、物理学和工程学中都有广泛的应用。
正弦倍角公式的推导从两角和公式开始。我们知道sin(α+β)等于sinα乘以cosβ加上cosα乘以sinβ。当我们令α等于β等于θ时，就得到sin(θ+θ)等于sinθ乘以cosθ加上cosθ乘以sinθ。化简后得到sin(2θ)等于2倍的sinθ乘以cosθ。在单位圆中可以直观地看到这个关系。
余弦倍角公式同样从两角和公式推导而来。cos(α+β)等于cosα乘以cosβ减去sinα乘以sinβ。令α等于β等于θ，得到cos(2θ)等于cos²θ减去sin²θ。利用基本恒等式sin²θ加cos²θ等于1，我们可以得到另外两种等价形式：cos(2θ)等于2cos²θ减1，或者等于1减2sin²θ。这三种形式在不同情况下各有用途。
正切倍角公式的推导同样基于两角和公式。tan(α+β)等于tanα加tanβ除以1减tanα乘tanβ。令α等于β等于θ，得到tan(2θ)等于2tanθ除以1减tan²θ。需要注意的是，分母不能为零，这意味着θ不能等于kπ加π/4。从图像上可以看到，正切函数和其倍角函数都有垂直渐近线，且倍角函数的周期是原函数的一半。
让我们总结三角函数的倍角公式。正弦倍角公式是sin(2θ)等于2sinθcosθ。余弦倍角公式有三种等价形式。正切倍角公式是2tanθ除以1减tan²θ。从图像可以看出，倍角函数的周期是原函数的一半，频率加倍。这些公式在三角方程求解、积分计算和物理学的振动分析中都有重要应用，是三角函数理论的重要组成部分。