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平方差公式 a² - b² 等于 (a-b)(a+b)。我们可以用几何方法来理解这个公式。想象一个边长为 a 的大正方形，面积是 a²。然后从右上角移除一个边长为 b 的小正方形，面积是 b²。剩余的面积就是 a² - b²。
现在我们将L形区域分解。用一条竖直虚线将L形分成两个矩形。左侧是一个宽为(a-b)、高为a的矩形，面积是(a-b)×a。底部是一个宽为b、高为(a-b)的矩形，面积是b×(a-b)。两个矩形的总面积是(a-b)×a加上b×(a-b)，提取公因子(a-b)，得到(a-b)(a+b)。
接下来我们重新排列这两个矩形。将左侧的红色矩形和底部的绿色矩形拼接在一起，形成一个新的大矩形。这个新矩形的宽度是(a-b)，长度是(a+b)，因此面积是(a-b)(a+b)。由于重新排列不改变总面积，所以a²减b²等于(a-b)(a+b)。
现在我们用代数方法验证这个结果。展开(a-b)(a+b)：首先用分配律，得到a乘以(a+b)减去b乘以(a+b)。继续展开得到a²加ab减ba减b²。由于ab等于ba，所以ab减ba等于零。最终得到a²减b²。这证明了几何方法和代数方法得到相同的结果：a²减b²等于(a-b)(a+b)。
平方差公式在实际计算中非常有用。例如计算99²减1²，我们可以用公式得到(99-1)(99+1)等于98乘以100等于9800，比直接计算要简单得多。对于代数表达式，比如(x+3)²减(x-2)²，同样可以应用平方差公式，最终化简为10x+5。平方差公式是代数运算中的重要工具。