同学们，今天我们将深入分析三角函数图像的平移规律。这是三角函数图像变换中最基础、也是最核心的部分。理解并掌握它，能帮助我们更高效地处理相关问题。首先，我们快速回顾一下最基本的正弦函数和余弦函数的图像。它们是周期性的波浪线，分别以原点和零一为起点，周期都是二π。所有复杂的三角函数图像，都可以看作是由这些基本图像经过一系列变换得到的。
第一种平移是垂直平移。对于函数 y 等于 f(x) 加 k，它的图像是将 y 等于 f(x) 的图像沿 y 轴方向平移。当 k 大于 0 时，向上平移 k 个单位；当 k 小于 0 时，向下平移 k 的绝对值个单位。这很好理解，因为函数值 f(x) 都统一增加了 k 或减少了 k 的绝对值。例如，y 等于 sin(x) 加 1 就是将 y 等于 sin(x) 向上平移了 1 个单位；y 等于 sin(x) 减 0.5 就是向下平移了 0.5 个单位。
更关键、也更容易出错的是水平平移，也称为相位移动。对于函数 y 等于 f(x 减 h)，它的图像是将 y 等于 f(x) 的图像沿 x 轴方向平移。这里的核心在于符号：y 等于 f(x 减 h) 是向右平移 h 个单位；而 y 等于 f(x 加 h) 则等价于 y 等于 f(x 减负h)，是向左平移 h 个单位。为什么是这样？思考一下，要让新函数 y 等于 f(x 减 h) 达到原函数 y 等于 f(x) 在某个点 x0 处的函数值，新函数的自变量需要取 x，使得 x 减 h 等于 x0，解得 x 等于 x0 加 h。这意味着你需要一个更大的 x 值才能得到与原函数在 x0 处相同的结果，所以整个图像向右移动了 h 个单位。
现在我们来看一个综合平移的例子。对于一般形式 y 等于 A sin(ωx 加 φ) 加 k，垂直平移由 k 决定，水平平移则需要先将 ωx 加 φ 写成 ω 乘以 x 加 φ 除以 ω 的形式，水平平移量就是负 φ 除以 ω。以 y 等于 sin(x 减 π/6) 加 1 为例，这个函数相对于基本正弦函数，先向上平移了 1 个单位，再向右平移了 π/6 个单位。掌握这些平移规律，是准确绘制三角函数图像、理解其性质以及解决相关问题的基础。
欢迎来到三角函数图像平移规律的学习！在之前的学习中，我们已经掌握了基本三角函数的图像特征。今天，我们将深入探讨如何通过改变函数表达式来实现图像的平移变换。这是理解三角函数性质和解决实际问题的关键技能。
首先我们来看垂直平移。垂直平移的函数形式是 y 等于 f(x) 加 k。当 k 大于 0 时，图像整体向上平移 k 个单位；当 k 小于 0 时，图像整体向下平移 k 的绝对值个单位。这里的关键是理解常数 k 是直接加减在函数值上的，所以影响的是 y 坐标的变化。比如 y 等于 sin x 加 2，就是将标准正弦函数向上平移 2 个单位。
接下来是水平平移。水平平移的函数形式是 y 等于 f(x 减 h)。注意这里的关键：当是减 h 时，图像向右平移 h 个单位；当是加 h 时，图像向左平移 h 个单位。这个规律初学时容易搞混，记住口诀"减右加左"。水平平移影响的是自变量 x，改变了函数的输入值，所以影响 x 坐标的位置。
当函数同时包含水平和垂直平移时，我们称之为复合平移。函数形式是 y 等于 f(x 减 h) 加 k。这时 h 控制水平平移，k 控制垂直平移。重要的是，这两种平移可以按任意顺序进行，结果都相同。比如我们可以先将 sin x 向右平移 π/3，得到 sin(x 减 π/3)，然后再向上平移 1 个单位，最终得到 sin(x 减 π/3) 加 1。
总结一下：垂直平移看函数表达式外部的加减常数 k，向上加向下减；水平平移看函数自变量内部 x 后面的加减常数 h，记住减 h 向右移 h，加 h 向左移 h。在处理更复杂的函数形式，如 y 等于 A sin(ωx 加 φ) 加 k 时，垂直平移由 k 决定，水平平移则需要先将 ωx 加 φ 写成 ω 乘以 x 加 φ 除以 ω 的形式，水平平移量就是负 φ 除以 ω。掌握这些平移规律，是准确绘制三角函数图像、理解其性质以及解决相关问题的基础。希望今天的讲解能帮助大家清晰地理解三角函数图像的平移规律。请务必通过练习巩固这些知识。