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椭圆是平面上到两个定点距离之和为常数的点的轨迹。椭圆有两个重要参数：半长轴a和半短轴b。椭圆的面积计算公式是A等于π乘以a乘以b。这个公式看起来简单，但其推导过程需要用到积分方法。
要推导椭圆的面积公式，我们首先需要建立椭圆的标准方程。当椭圆中心在原点，长轴沿x轴，短轴沿y轴时，椭圆的标准方程为x的平方除以a的平方加上y的平方除以b的平方等于1。其中a是半长轴的长度，b是半短轴的长度。椭圆与坐标轴的交点分别为正负a和正负b。
为了推导椭圆面积公式，我们使用积分方法。首先从椭圆的标准方程中解出y，得到y等于b乘以根号下1减去x平方除以a平方。由于椭圆关于x轴对称，我们可以计算上半部分的面积，然后乘以2。椭圆的面积等于2倍的从负a到正a对这个函数的积分。图中黄色部分表示上半椭圆，绿色线段表示积分的微元。
为了计算这个积分，我们使用三角代换。令x等于a乘以正弦θ，则dx等于a乘以余弦θ乘以dθ。当x从负a变化到正a时，对应的θ从负π/2变化到π/2。将三角代换代入积分表达式，我们得到A等于2ab乘以从负π/2到π/2对余弦平方θ的积分。右图展示了三角代换的几何意义，点在单位圆上移动时，x坐标对应椭圆上的点。
现在我们完成积分计算。使用二倍角公式，余弦平方θ等于1加余弦2θ的一半。将此代入积分，得到ab乘以从负π/2到π/2对1加余弦2θ的积分。计算定积分，θ的积分是θ本身，余弦2θ的积分是二分之一倍正弦2θ。代入积分限，最终得到椭圆面积公式A等于πab。这个优美的公式表明椭圆面积只依赖于两个半轴的乘积。