视频字幕
基本不等式是高中数学的重要知识点。对于两个正数a和b，算术平均数总是大于或等于几何平均数，即二分之a加b大于等于根号ab。当且仅当a等于b时，等号成立。这个不等式在解决最值问题时非常有用。
基本不等式有直观的几何意义。在直角三角形中，当我们将两条直角边a和b放在一条直线上时，斜边上的高h等于a和b的几何平均数。而以这条直线为直径的圆的半径R等于a和b的算术平均数。由于圆的半径总是大于或等于内接三角形的高，所以算术平均数大于等于几何平均数。
基本不等式有多种等价的变形形式。最常用的是a加b大于等于2倍根号ab。通过平方可得ab小于等于a加b的一半的平方。另一个重要变形是a平方加b平方大于等于2ab，这可以通过完全平方公式得到。这些变形在解决不同类型的最值问题时各有用途。
现在我们来看一个基本不等式的典型应用。已知x大于0，y大于0，且x加y等于4，求xy的最大值。根据基本不等式，x加y大于等于2倍根号xy。代入约束条件x加y等于4，得到4大于等于2倍根号xy，化简后得到xy小于等于4。当且仅当x等于y等于2时，xy取得最大值4。
最后我们来解一道练习题。已知a大于0，b大于0，a加2b等于3，求ab的最大值。我们可以直接应用基本不等式。由于a加2b大于等于2倍根号2ab，代入约束条件得到3大于等于2倍根号2ab。经过化简得到ab小于等于八分之九。当a等于二分之三，b等于四分之三时，ab取得最大值八分之九。这就是基本不等式在求最值问题中的典型应用。