根据附件图片内容，讲解“平移和对称问题”---第26讲 平移和对称
平移和对称是解决平面几何问题常用的图形变换方法.
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形变换称为平移.从定义可知,平移后,图形的形状、大小和方向没有发生任何变化(平移前后的两个图形是全等形).
(1) 对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等,对应点所连结的线段平行且相等;
(2) 图形平移后,对应点连成的线段平行且相等(或在同一直线上).
(3) 多次平移相当于一次平移.
(4) 平移是由方向、距离决定的.
这些性质是利用平移解题的关键.
对称也是一种几何变换,同学们目前接触的是中心对称和轴对称.其性质可见下表:
| 变换名称 | 中心对称 | 轴对称 |
| :---------- | :----------------------------------------------------------------------- | :--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| 定义和性质 | | |
| 定义 | 将一个图形绕某个定点旋转180°,如果它可以和另一个图形重合,那么这两个图形成中心对称.这个定点叫对称中心. | 将一个图形关于某条定直线作轴反射,如果它可以和另一个图形重合,那么这两个图形成轴对称.这条定直线叫对称轴. |
| 性质 | 成中心对称的两个图形全等,连结对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分. | 成轴对称的两个图形全等,连结对称点的线段都被对称轴垂直平分,如果对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上. |
【例1】 如图26-1所示,直角△ABC中,∠C=90°,MN∥AB,P、Q分别为MN和AB的中点.求证:PQ = (AB - MN).
**图 26-1 Chart Description:**
* Type: Geometric figure (triangle).
* Main Elements:
* Triangle ABC with a right angle at C.
* Line segment MN inside triangle ABC, parallel to AB. M is on AC, N is on BC. There is a right angle symbol shown at C.
* Points P and Q are the midpoints of MN and AB respectively. P is labeled on MN, Q is labeled on AB.
* Line segment PQ is drawn.
* Labels: A, B, C, M, N, P, Q.
分析 欲证 PQ = (AB - MN), 即 2PQ = AB - MN, 观察图形可发现, MN、PQ、AB 相对分散, 不易发现三者的数量关系, 因此, 可考虑通过平移将三者集合到一个图形中, 便于发现其中的数量关系. 如图26-2, 于是把MA平移到PX, NB平移到PY, 点X、Y均在AB上, 显然有 AB = (AX + XY + YB), MN = XY (since MN∥AB and MA is translated to PX, NB to PY, suggesting MNPX and NBPY are parallelograms, therefore MN=XY). Also, MN = AB - (MP + NP) = AB - (AX + BY) = XY. 因此,只需证出 2PQ = XY 即可.
**图 26-2 Chart Description:**
* Type: Geometric figure (triangle with constructions).
* Main Elements:
* Triangle ABC with a right angle at C.
* Line segment MN inside triangle ABC, parallel to AB. M is on AC, N is on BC. A right angle symbol is shown at C.
* Points P and Q are the midpoints of MN and AB respectively.
* Points X and Y are on AB.
* Dashed line segment CX.
* Line segment PX (apparently formed by translating MA).
* Line segment PY (apparently formed by translating NB).
* Dashed line segment CY.
* Labels: A, X, Q, Y, B on the base line; M, P, N on the middle line; C at the top vertex. A right angle symbol is shown near P, labeled ∠XPY (though the label isn't explicitly shown, the proof implies this angle).
* Lines PX and PY are drawn. Line segment PQ is drawn.
证明 如图 26-2, 将MA平移到PX, NB平移到PY.
因为MN∥AB, 所以点X、Y在AB上, 那么MAXP 和 NBYP 均为平行四边形.
因为AX = MP, BY = NP, ∠XPY = ∠C = 90°, 所以
AB - MN = AB - (MP + NP) = AB - (AX + BY) = XY.
又∠XPY = ∠ACB = 90°, PQ 是直角△PXY 的斜边XY 上的中线, 那么 PQ = XY, 2PQ = XY.