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勾股定理是几何学中最重要的定理之一。它告诉我们，在任意一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理在中国古代就被发现并应用，被称为勾股定理。在西方，它以古希腊数学家毕达哥拉斯的名字命名。
勾股定理的数学表达式是 a² + b² = c²。这里 a 和 b 代表直角三角形的两条直角边，c 代表斜边。这个公式告诉我们，两条直角边长度的平方和，恰好等于斜边长度的平方。我们可以通过在每条边上构造正方形来直观地理解这个关系。
这是勾股定理最经典的证明方法之一。我们构造一个边长为 a+b 的大正方形，内部包含四个相同的直角三角形和一个边长为 c 的小正方形。大正方形的面积等于 (a+b)²，也等于四个三角形的面积加上小正方形的面积。通过面积相等的关系，我们可以推导出 a² + b² = c²，从而证明了勾股定理。
让我们通过一个具体的例子来看看勾股定理的应用。假设我们有一个直角三角形，两条直角边的长度分别是3和4，我们要求斜边的长度。根据勾股定理，c² = a² + b²，所以 c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，因此 c = 5。这就是著名的3-4-5直角三角形，是勾股定理最经典的应用实例。