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线性变换是线性代数中的核心概念。今天我们来学习线性变换的两个重要性质：值域和核。值域是所有输入向量经过变换后形成的输出向量集合，而核是所有被映射到零向量的输入向量集合。
现在我们详细定义线性变换的值域。设T是从向量空间V到向量空间W的线性变换，那么T的值域记作Im(T)，是所有T(v)的集合，其中v属于V。值域是上域W的一个子空间，包含了所有可能的输出向量。
接下来我们学习线性变换的核。设T是从向量空间V到向量空间W的线性变换，那么T的核记作Ker(T)，是所有被T映射到零向量的向量的集合。核是定义域V的一个子空间，它包含了所有使得T(v)等于零向量的向量v。
让我们通过一个具体的矩阵变换例子来理解值域和核。考虑从三维空间到二维空间的线性变换T，由矩阵A定义。这个变换的值域是矩阵列向量张成的空间，而核是所有被映射到零向量的向量集合，在这个例子中是一条直线。