请解答附件的数学题 ---1. (2025 北京高考真题) 已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 椭圆 $E$ 上的点到两焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 $E$ 的方程; (2)设 $O$ 为坐标原点, 点 $M(x_0, y_0)(x_0 \neq 0)$ 在椭圆 $E$ 上, 直线 $x_0x + 2y_0y - 4 = 0$ 与直线 $y = 2$, $y = -2$ 分别交于点 $A$, $B$. 设 $\triangle OAM$ 与 $\triangle OBM$ 的面积分别为 $S_1, S_2$, 比较 $\frac{S_1}{S_2}$ 与 $\frac{|OA|}{|OB|}$ 的大小.

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

这是一道关于椭圆方程的题目。已知椭圆的离心率为根号2除以2，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4。根据椭圆的基本性质，距离之和等于2a，所以a等于2。由离心率公式，c等于a乘以e，即根号2。利用椭圆的关系式b平方等于a平方减c平方，得到b平方等于2。因此椭圆方程为x平方除以4加y平方除以2等于1。 现在分析第二部分。点M在椭圆上，直线x₀x加2y₀y减4等于0是椭圆在点M处的切线方程。这条切线与水平线y等于2和y等于负2分别交于点A和B。通过代入y的值，我们可以求出交点A和B的坐标。点A的横坐标为4减4y₀除以x₀，点B的横坐标为4加4y₀除以x₀。 我们来解决这道关于椭圆的数学题。已知椭圆的离心率为根号2除以2，椭圆上的点到两焦点距离之和为4。根据椭圆的性质，点到两焦点距离之和等于2a，所以a等于2。由离心率公式e等于c除以a，可得c等于根号2。利用椭圆关系式b²等于a²减c²，得到b²等于2。因此椭圆方程为x²除以4加y²除以2等于1。 现在我们来看椭圆的图像。椭圆方程为x²除以4加y²除以2等于1。设椭圆上有一点M，坐标为(x₀, y₀)。根据题目，我们还有直线x₀x加2y₀y减4等于0，以及两条水平线y等于2和y等于负2。接下来我们需要找到这条直线与两条水平线的交点。 现在计算三角形OAM和OBM的面积。使用三角形面积公式，S₁等于二分之一乘以x_A乘以y₀减去x₀乘以y_A的绝对值。经过化简，得到S₁等于2倍y₀减2的绝对值除以x₀的绝对值。同样地，S₂等于2倍y₀加2的绝对值除以x₀的绝对值。这样我们就得到了两个三角形面积的表达式。 接下来计算OA和OB的长度。根据距离公式，OA的长度等于x_A的平方加y_A的平方再开根号。将A点坐标代入，经过化简得到OA等于2倍根号下(1减y₀)的平方加x₀的平方，再除以x₀的绝对值。同样地，OB等于2倍根号下(1加y₀)的平方加x₀的平方，再除以x₀的绝对值。因此OA与OB的比值等于根号下(1减y₀)的平方加x₀的平方除以根号下(1加y₀)的平方加x₀的平方。 最后我们比较S₁与S₂的比值和OA与OB的比值。S₁与S₂的比值等于y₀减2的绝对值除以y₀加2的绝对值。而OA与OB的比值我们刚才已经计算出来。由于点M在椭圆上，满足椭圆方程，我们可以用这个约束条件。将椭圆方程代入并化简，可以证明当y₀在负根号2到正根号2之间时，这两个比值相等。因此答案是S₁与S₂的比值等于OA与OB的比值。