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若尔当标准型是线性代数中的核心概念。对于任意方阵A，都存在一个可逆矩阵P，使得A可以化为若尔当标准型J。若尔当标准型是一种特殊的准对角矩阵，由若尔当块组成。这种标准型在矩阵分析、微分方程求解等领域有重要应用。
计算特征值是若尔当标准化的第一步。我们需要求解特征方程det(A减λI)等于0。对于这个3乘3矩阵，特征多项式是(3减λ)的三次方等于0，所以特征值λ等于3，代数重数为3。代数重数表示特征值作为特征方程根的重数，所有特征值的代数重数之和等于矩阵的维数。
第二步是计算几何重数。几何重数等于特征子空间的维数，即null(A减λI)的维数。对于特征值3，我们计算A减3I的矩阵，其秩为2，所以几何重数等于3减2等于1。由于几何重数1小于代数重数3，说明矩阵不可对角化，需要用若尔当标准型。几何重数等于对应特征值的若尔当块的个数。
第三步是确定若尔当块的结构。我们需要计算(A减λI)的各次幂的零化度。计算(A减3I)的平方和三次方，得到它们的零化度分别为2和3。通过分析零化度的变化，我们可以确定若尔当块的大小。在这个例子中，特征值3对应一个3乘3的若尔当块，因为零化度从1增加到2再到3。