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我们先来观察几个简单的二项式展开。(a+b)的1次方等于a+b，系数是1和1。(a+b)的2次方等于a²+2ab+b²，系数是1、2、1。(a+b)的3次方等于a³+3a²b+3ab²+b³，系数是1、3、3、1。这些系数构成了著名的杨辉三角，每一行的数字都是上一行相邻两数之和。
总结这些规律，我们得到二项式定理的通用公式：(a+b)的n次方等于从k等于0到n的求和，C下标n上标k乘以a的n减k次方乘以b的k次方。其中C下标n上标k是组合数，等于n的阶乘除以k的阶乘乘以n减k的阶乘，表示从n个元素中选择k个元素的方法数。注意a的幂次从n递减到0，b的幂次从0递增到n，每一项中a和b的幂次之和始终等于n。
现在我们用二项式定理来展开(x+y)的4次方。首先确定参数：n等于4，a等于x，b等于y。然后计算各项：当k等于0时，C4取0乘以x的4次方乘以y的0次方，等于x的4次方。当k等于1时，C4取1等于4，得到4x的3次方y。当k等于2时，C4取2等于6，得到6x的2次方y的2次方。当k等于3时，C4取3等于4，得到4xy的3次方。当k等于4时，C4取4等于1，得到y的4次方。最终结果是x的4次方加4x的3次方y加6x的2次方y的2次方加4xy的3次方加y的4次方。
现在我们来解决一个变式问题：求(2x减3y)的5次方展开式中x的2次方y的3次方项的系数。首先确定参数：n等于5，a等于2x，b等于负3y，注意b是带负号的。然后确定k值：目标项x的2次方y的3次方中，y的幂次是3，所以k等于3。验证x的幂次：n减k等于5减3等于2，正好对应x的2次方。接下来计算该项：C5取3乘以(2x)的2次方乘以(-3y)的3次方。逐步计算：C5取3等于10，(2x)的2次方等于4x的2次方，(-3y)的3次方等于负27y的3次方。最终结果：10乘以4x的2次方乘以负27y的3次方等于负1080x的2次方y的3次方。所以系数为负1080。
二项式定理是展开(a+b)的n次方的强大工具。它通过组合数将系数与杨辉三角联系起来，并通过幂次规律确定每一项的形式。关键要点包括：系数由组合数C下标n上标k确定，幂次规律是a从n递减到0、b从0递增到n，每项幂次和恒为n，既可以求完整展开也可以求特定项。二项式定理在代数式展开、概率计算、数学证明和工程计算等多个领域都有广泛应用。掌握了这个定理，无论是完全展开还是寻找特定项，都能迎刃而解。希望大家多加练习，熟练掌握二项式定理！