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定积分是微积分中的核心概念之一。它基于黎曼和的极限思想，用来描述函数在某个区间上的累积效应。在几何上，定积分表示函数曲线与x轴在给定区间内围成的带符号面积。
定积分定义的第一步是区间分割。我们将积分区间从a到b分割成n个小区间。每个分割点记为x下标i，其中a等于x0，b等于xn。每个小区间的长度记为Δxi，等于xi减去xi减1。这种分割为后续构造黎曼和奠定了基础。
构造黎曼和是定积分定义的核心步骤。在每个小区间内，我们选取一个样本点ξi，计算函数在该点的值f(ξi)。然后将函数值与对应小区间的长度Δxi相乘，得到一个小矩形的面积。将所有这些小矩形面积相加，就得到了黎曼和。
定积分定义的关键在于取极限过程。当我们让分割的细度，也就是所有小区间长度的最大值趋近于零时，黎曼和会趋向于一个确定的极限值。这个极限就是函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。随着分割越来越细，矩形面积的和越来越接近曲线下的真实面积。
定积分具有重要的几何意义。它表示函数曲线y等于f(x)与x轴在区间[a,b]上围成的带符号面积。当函数值大于等于零时，对应的面积为正；当函数值小于零时，对应的面积为负。定积分的最终值是所有正面积与负面积的代数和。这种几何解释使得定积分成为计算面积、体积等几何量的重要工具。