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今天我们来探讨一个有趣的几何优化问题：当长方形的周长保持不变时，什么情况下面积最大？让我们通过几个例子来观察。这里有三个周长都为9的长方形，我们可以看到随着长和宽越来越接近，面积逐渐增大。
现在让我们建立数学模型来解决这个问题。设长方形的长为l，宽为w。周长公式是P等于2倍的l加w，这里P是一个常数。面积公式是A等于l乘以w。我们的目标是在周长不变的约束条件下，求面积A的最大值。
现在进行数学推导。由周长公式P等于2倍l加w等于常数，我们得到l加w等于P的一半，设为S。因此w等于S减l。将w代入面积公式，得到A等于l乘以S减l，即A等于Sl减l的平方。这是一个关于l的二次函数，其图像是开口向下的抛物线，在顶点处取得最大值。
现在求解最大值。对于二次函数A等于负l平方加Sl，使用顶点公式，得到l等于S的一半。相应地，w也等于S的一半。因此当l等于w时，面积达到最大值。这意味着当长等于宽时，长方形变成正方形，此时面积最大。让我们看看长方形逐渐变成正方形的过程。
总结一下我们的结论：当长方形的周长保持不变时，面积最大的情况是正方形。这个结论基于二次函数在顶点处取得最值的数学原理，是约束优化问题的经典例子。几何直观和代数推导完全一致。这个原理在实际生活中有广泛应用，比如建筑设计和材料优化等领域。