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今天我们来推导一个重要的数学公式：从1的平方加到N的平方的求和公式。这个问题在数学中经常遇到，我们将通过巧妙的方法来推导出这个公式。
推导的关键是使用一个巧妙的恒等式。我们知道k加1的立方减去k的立方等于3k的平方加3k加1。这个恒等式看起来简单，但它是我们推导的核心工具。通过对这个恒等式进行求和，我们就能得到平方和的公式。
现在我们对恒等式从k等于1到N进行求和。左边的求和是一个裂项和，也叫望远镜级数。当我们展开所有项时，会发现中间的项会相互抵消，只剩下第一项的负数部分和最后一项的正数部分，结果是N加1的立方减去1。
现在我们联立左右两边的结果来求解平方和。左边等于N加1的立方减1，右边包含我们要求的平方和。通过展开、整理和因式分解，我们最终得到了平方和的公式：从1的平方加到N的平方等于N乘以N加1乘以2N加1，再除以6。
让我们验证这个公式的正确性。以N等于3为例，左边是1的平方加2的平方加3的平方等于14，右边用公式计算也等于14，完全吻合。这个平方和公式不仅数学上优美，在实际应用中也非常重要，广泛用于数学分析、概率论和物理学等领域。