resuelve el problema---**Extraction Content:**
**Question Stem:**
23. De la esfera maciza homogénea de radio 3R se sustrae una porción de masa M esférica de radio R tal como se muestra. Determine el módulo de la fuerza que le ejerce este cuerpo a la partícula de masa m ubicada en A.
(G: constante de gravitación universal)
**Diagram Description:**
* **Type:** Cross-section diagram showing a large circle with a smaller concentric circle removed from its center, and a point above the large circle. This represents a spherical shell with a spherical cavity, plus an external point mass.
* **Main Elements:**
* A large shaded circular region with a concentric unshaded circular region in the center. This represents a spherical shell with a spherical cavity.
* Point O is located at the center of both circles (the center of the large sphere and the center of the cavity).
* A dashed line extends from O outwards.
* A dashed line segment from O to the outer edge of the shaded region is labeled with the radius "3R".
* A dashed line segment from O to the inner edge of the shaded region (the edge of the cavity) is labeled with the radius "R".
* A point labeled "A" is located vertically above O.
* A small filled circle representing a particle of mass 'm' is located at point A.
* A vertical dashed line connects point A to the dashed line extending from O.
* A vertical brace indicates the distance between point A and the outer surface of the large sphere along the vertical line above O. This distance is labeled "R".
**Options:**
A) $\frac{GmM}{2R^2}$
B) $\frac{GmM}{LGR^2}$
C) $\frac{13GmM}{8R^2}$
D) $\frac{GmG}{3R^2}$
E) $\frac{GmM}{24R^2}$
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答案文本
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Tenemos una esfera maciza homogénea de radio tres R, de la cual se ha sustraído una porción esférica de radio R y masa M. Necesitamos calcular la fuerza gravitatoria que ejerce este cuerpo sobre una partícula de masa m ubicada en el punto A, que está a una distancia R por encima de la superficie exterior.
Para resolver este problema aplicamos el principio de superposición gravitatoria. La fuerza ejercida por el cuerpo con cavidad es igual a la fuerza que ejercería una esfera maciza completa de radio tres R, menos la fuerza que ejercería la porción esférica sustraída de radio R y masa M. Ambas esferas están centradas en el punto O.
Ahora calculamos las distancias y masas necesarias. La distancia del centro O al punto A es la suma del radio de la esfera grande más la distancia adicional R, es decir, r_A igual a cuatro R. Para las masas, como la esfera es homogénea, la densidad es constante. El volumen de la esfera grande es treinta y seis pi R cúbico, mientras que el volumen de la porción sustraída es cuatro tercios pi R cúbico. Por tanto, la masa de la esfera completa es veintisiete veces la masa de la porción sustraída.
Aplicamos la ley de gravitación universal. La fuerza de la esfera completa es G por veintisiete M por m, dividido entre dieciséis R cuadrado. La fuerza de la porción sustraída es G M m dividido entre dieciséis R cuadrado. La fuerza neta es la diferencia: veintisiete menos uno, igual a veintiséis, por G m M dividido entre dieciséis R cuadrado. Simplificando, obtenemos trece G m M dividido entre ocho R cuadrado.
Por tanto, la respuesta final es trece G m M dividido entre ocho R cuadrado. Esta corresponde a la opción C del problema. Hemos aplicado correctamente el principio de superposición gravitatoria, calculado las masas y distancias apropiadas, y obtenido el resultado correcto mediante la ley de gravitación universal.