resolver esta pregunta icfes de matemáticas que evalúa sistemas de conteo en este caso permutación---**Question Number:** 135.
**Question Stem:** En una ciudad hay dos tipos de placas para identificar los vehículos:
Tipo 1. Para vehículos particulares y de transporte público; placa con 3 letras y tres dígitos, tanto las letras como los dígitos se pueden repetir.
Tipo 2. Para vehículos de transporte pesado: placa con la letra T seguida de 4 dígitos; los dígitos se pueden repetir.
Sabiendo que hay 26 letras y 10 dígitos, ¿cuál es la expresión que permite calcular el número máximo de placas de los dos tipos que pueden registrarse en esa ciudad?
**Options:**
A. $26^3 \times 10^3 + 26 \times 10^4$
B. $(26^3 + 1) \times (10^3 + 10^4)$
C. $(26^3 + 26) \times (10^3 + 10^4)$
D. $26^3 \times 10^3 + 1 \times 10^4$
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Vamos a resolver este problema de conteo sobre placas de vehículos. Tenemos dos tipos de placas: Tipo 1 para vehículos particulares con 3 letras y 3 dígitos, y Tipo 2 para transporte pesado con la letra T seguida de 4 dígitos. En ambos casos se permite repetición.
Analicemos el Tipo 1. Cada placa tiene 3 letras seguidas de 3 dígitos. Para las letras, cada posición tiene 26 opciones, y para los dígitos, cada posición tiene 10 opciones. Como se permite repetición, el total es 26 elevado a 3, multiplicado por 10 elevado a 3, que nos da 17 millones 576 mil placas posibles.
Ahora analicemos el Tipo 2. Estas placas tienen la letra T fija en la primera posición, seguida de 4 dígitos. Como la T es fija, solo hay 1 opción para esa posición. Para los 4 dígitos, cada uno tiene 10 opciones. El total es 1 multiplicado por 10 elevado a 4, que nos da 10 mil placas posibles.
Para obtener el total máximo de placas, sumamos ambos tipos ya que son diferentes. Tipo 1 nos da 26 elevado a 3 por 10 elevado a 3, y Tipo 2 nos da 1 por 10 elevado a 4. La expresión total es 26 elevado a 3 por 10 elevado a 3, más 1 por 10 elevado a 4. Esta expresión corresponde exactamente a la opción D.
Para verificar nuestro resultado, recordemos el principio de suma en conteo: cuando los eventos son mutuamente excluyentes, sumamos las posibilidades. Una placa es tipo 1 O tipo 2, nunca ambos. Por tanto, el total es la suma: 17 millones 576 mil más 10 mil, igual a 17 millones 586 mil placas. La respuesta correcta es la opción D.