הסבר---**Question Stem:**
רשמו את הטענות הבאות במילים ובדקו האם הן נכונות: (Write the following claims in words and check if they are correct:)
**Statements:**
א. $\forall x \forall y: (x+y)^2 > 0$
ב. $\forall x \exists y: (x+y)^2 > 0$
ג. $\forall x \forall y \exists z: xz = \frac{y}{4}$
ד. $\forall x > 0, \forall y > 0, \sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$
ה. $\forall n \exists k, n^3-n = 6k$ (n ו- k טבעיים). (n and k are natural numbers).
**Note:**
הערה: בסעיף זה הטבעיים כוללים את 0. (Note: In this section, natural numbers include 0.)
视频信息
答案文本
视频字幕
נתחיל בבדיקת חמש טענות מתמטיות. כל טענה כתובה בשפה הפורמלית של הלוגיקה המתמטית, ונצטרך לתרגם אותה למילים ולבדוק האם היא נכונה או שגויה.
נבדוק את הטענה הראשונה. הטענה אומרת שלכל x ולכל y, ריבוע סכומם גדול מאפס. אבל זה לא נכון. אם ניקח x שווה 1 ו-y שווה מינוס 1, אז הסכום הוא אפס, וריבוע אפס הוא אפס, שאינו גדול מאפס. לכן הטענה שגויה.
נבדוק את הטענה השנייה. הטענה אומרת שלכל x, קיים y כך שריבוע סכומם גדול מאפס. זה נכון. עבור כל x נתון, נוכל לבחור y שווה מינוס x פלוס 1. אז הסכום יהיה תמיד 1, וריבוע 1 הוא 1, שגדול מאפס. הטענה נכונה.
נבדוק את הטענות השלישית והרביעית. הטענה השלישית אומרת שלכל x ולכל y קיים z כך ש-x כפול z שווה y חלקי 4. אבל אם x שווה אפס ו-y שווה 1, אז אפס כפול z צריך להיות רבע, וזה בלתי אפשרי. הטענה שגויה. הטענה הרביעית היא אי-שוויון הממוצעים - הממוצע הגיאומטרי קטן או שווה לממוצע האריתמטי. זה נכון תמיד עבור מספרים חיוביים.
נבדוק את הטענה החמישית והאחרונה. הטענה אומרת שלכל מספר טבעי n, קיים מספר טבעי k כך ש-n בחזקת שלוש מינוס n שווה 6 כפול k. נוכל לפרק את הביטוי: n בחזקת שלוש מינוס n שווה n כפול n מינוס 1 כפול n פלוס 1. זוהי מכפלת שלושה מספרים עוקבים, שתמיד מתחלקת ב-6. לכן הטענה נכונה. לסיכום: הטענות ב, ד, וה נכונות, ואילו הטענות א וג שגויות.