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勾股定理，也称为毕达哥拉斯定理，是平面几何中最重要的定理之一。它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系。在这个图形中，我们可以看到一个直角三角形和三个正方形，分别建立在三角形的三条边上。
勾股定理的数学表达式是 a² + b² = c²。其中 a 和 b 是直角三角形的两条直角边，c 是斜边，也就是直角所对的最长边。这个公式告诉我们，两条直角边长度的平方和，恰好等于斜边长度的平方。
让我们通过一个经典例题来应用勾股定理。已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，我们要求斜边的长度。根据勾股定理，c² = a² + b²，代入数值得到 c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，因此 c = 5。这就是著名的3-4-5直角三角形。
勾股定理有多种证明方法，其中最直观的是面积证明法。我们构造一个边长为 a+b 的大正方形，它包含一个边长为 c 的小正方形和四个直角三角形。通过比较面积，我们得到 (a+b)² = c² + 4×½ab，展开后化简得到 a² + b² = c²，这就证明了勾股定理。
勾股定理在现实生活中有广泛应用。在建筑工程中，工人使用勾股定理来确保建筑物的垂直度和测量距离。在导航系统中，它帮助计算两点间的直线距离。在计算机图形学和物理学中，勾股定理也是基础工具。作为几何学的基石，勾股定理为整个数学和科学的发展奠定了重要基础。