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行列式是线性代数中的核心概念之一。它是一个从方阵到标量的函数，为我们提供了关于矩阵的重要信息。对于二阶矩阵，行列式等于主对角线元素乘积减去副对角线元素乘积。例如，矩阵的行列式为2乘以4减去3乘以1，等于5。
行列式具有重要的几何意义。在二维空间中，两个向量构成的矩阵的行列式的绝对值等于这两个向量张成的平行四边形的面积。在三维空间中，三个向量的行列式绝对值等于平行六面体的体积。行列式的符号还表示定向：正值保持原定向，负值表示定向发生了改变。
行列式在代数上有重要意义。当且仅当方阵的行列式不等于零时，该矩阵是可逆的。这个性质与线性方程组的解密切相关：如果系数矩阵的行列式不为零，方程组有唯一解；如果行列式为零，方程组要么无解，要么有无穷多解。行列式为零还意味着矩阵的行向量或列向量线性相关。
行列式有多种计算方法。对于二阶矩阵，使用对角线法则：主对角线乘积减去副对角线乘积。对于三阶矩阵，可以使用萨吕斯法则或代数余子式展开。高阶矩阵通常使用代数余子式展开法，沿某一行或列展开。需要注意的是，行变换会影响行列式的值，这在实际计算中很有用。
行列式在数学和工程中有广泛应用。克拉默法则利用行列式求解线性方程组；矩阵的逆可以通过行列式和伴随矩阵计算；行列式为零可以判断向量组线性相关；在几何中用于计算面积和体积；在特征值问题中也起关键作用。总之，行列式是连接线性代数几何意义和代数运算的重要桥梁。