Le théorème de Pythagore est l'un des théorèmes les plus célèbres des mathématiques. Il établit une relation fondamentale entre les côtés d'un triangle rectangle. Dans un triangle rectangle, nous avons trois côtés : les deux cathètes a et b, et l'hypoténuse c, qui est le côté le plus long opposé à l'angle droit.
L'énoncé du théorème de Pythagore est simple mais puissant : dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux cathètes. Mathématiquement, cela s'écrit a carré plus b carré égale c carré. L'hypoténuse est le côté le plus long, opposé à l'angle droit, tandis que les cathètes sont les deux autres côtés.
Une démonstration géométrique classique du théorème de Pythagore consiste à construire des carrés sur chaque côté du triangle rectangle. Le carré construit sur la cathète a a une aire de a carré, celui sur la cathète b a une aire de b carré, et celui sur l'hypoténuse c a une aire de c carré. La démonstration montre que l'aire du carré sur l'hypoténuse est exactement égale à la somme des aires des carrés sur les cathètes.
Prenons un exemple concret avec le célèbre triangle 3-4-5. Nous avons un triangle rectangle avec des cathètes de longueur 3 et 4. Pour trouver l'hypoténuse, nous appliquons le théorème de Pythagore : a carré plus b carré égale c carré. Donc 3 au carré plus 4 au carré égale c carré, ce qui donne 9 plus 16 égale 25, donc c égale 5. Ce triangle est un exemple parfait car tous les côtés ont des longueurs entières.
Le théorème de Pythagore a de nombreuses applications pratiques dans notre vie quotidienne. En architecture, il permet de calculer les longueurs d'échelles, les diagonales de structures, ou les dimensions de toitures. En navigation, il aide à déterminer les distances directes entre deux points. En physique et ingénierie, il est essentiel pour les calculs vectoriels et les analyses de forces. Ce théorème reste l'un des outils mathématiques les plus utiles et universels.