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今天我们来分析一个经典的函数问题：已知函数 f(x) = (x² - 1)/(x - 1)，求其定义域和 x=1 处的极限。这个问题涉及几个重要概念：函数的定义域、极限的概念，以及"约分"对函数本质的影响。让我们逐步分析这些问题。
首先，我们需要确定函数的定义域。对于分式函数，最重要的原则是分母不能为零。在函数 f(x) = (x² - 1)/(x - 1) 中，当 x - 1 = 0，即 x = 1 时，分母为零，函数无定义。因此，函数的定义域是除了 1 之外的所有实数。
接下来我们来化简这个函数。注意到分子 x² - 1 可以因式分解为 (x+1)(x-1)。将其代入原式，得到 f(x) = [(x+1)(x-1)]/(x-1)。当 x 不等于 1 时，我们可以约去分子分母中的 (x-1)，得到 f(x) = x + 1。但是要特别注意，约分的前提条件是 x ≠ 1，这个条件不能被忽略。
现在我们来求 x = 1 处的极限。虽然函数在 x = 1 处无定义，但极限可能存在。利用化简后的形式 f(x) = x + 1（当 x ≠ 1 时），我们可以计算极限。当 x 趋向于 1 时，x + 1 趋向于 2，因此极限值为 2。从图像上看，虽然在 x = 1 处有一个空心点，但函数值从两边都趋向于 2。
让我们总结一下这个问题的关键点。首先，函数的定义域是函数有意义的 x 值集合，对于我们的函数，定义域是除了1之外的所有实数。其次，要区分函数值和极限值：f(1) 不存在，但极限 lim[x→1] f(x) = 2 存在。关于约分的本质：约分不改变函数在定义域内的值，但不能扩大原函数的定义域。最后，极限描述的是函数的趋势，而定义域确定的是函数的范围。这两个概念各有其重要的数学意义。
首先，我们需要确定函数的定义域。对于分式函数，最重要的原则是分母不能为零。在函数 f(x) = (x² - 1)/(x - 1) 中，当 x - 1 = 0，即 x = 1 时，分母为零，函数无定义。因此，函数的定义域是除了 1 之外的所有实数。
接下来我们来化简这个函数。注意到分子 x² - 1 可以因式分解为 (x+1)(x-1)。将其代入原式，得到 f(x) = [(x+1)(x-1)]/(x-1)。当 x 不等于 1 时，我们可以约去分子分母中的 (x-1)，得到 f(x) = x + 1。但是要特别注意，约分的前提条件是 x ≠ 1，这个条件不能被忽略。
现在我们来求 x = 1 处的极限。虽然函数在 x = 1 处无定义，但极限可能存在。利用化简后的形式 f(x) = x + 1（当 x ≠ 1 时），我们可以计算极限。当 x 趋向于 1 时，x + 1 趋向于 2，因此极限值为 2。从图像上看，虽然在 x = 1 处有一个空心点，但函数值从两边都趋向于 2。
让我们总结一下这个问题的关键点。首先，函数的定义域是函数有意义的 x 值集合，对于我们的函数，定义域是除了1之外的所有实数。其次，要区分函数值和极限值：f(1) 不存在，但极限 lim[x→1] f(x) = 2 存在。关于约分的本质：约分不改变函数在定义域内的值，但不能扩大原函数的定义域。最后，极限描述的是函数的趋势，而定义域确定的是函数的范围。这两个概念各有其重要的数学意义。