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这是一道关于指数函数和对数函数的综合题目。已知函数f(x)等于e的x次方减去ln(x+m)。题目分为两个部分：第一部分要求当m等于0时，求曲线在点(1, f(1))处的切线方程；第二部分要求证明当m小于等于2时，函数值恒大于0。
现在我们来解决第一问。当m等于0时，函数变为f(x)等于e的x次方减去ln x。首先计算点(1, f(1))的坐标。f(1)等于e减去ln 1，等于e减去0，等于e。所以点坐标为(1, e)。接下来求导数，f'(x)等于e的x次方减去1除以x。在x等于1处，f'(1)等于e减1，这就是切线斜率。利用点斜式，切线方程为y等于(e减1)乘以x加1。
现在我们来分析第二问的证明思路。要证明当m小于等于2时，f(x)恒大于0，我们需要找到函数的最小值并证明它大于0。首先确定定义域：x加m大于0，即x大于负m。然后求导数f'(x)等于e的x次方减去1除以(x+m)。令导数为0，得到方程(x+m)乘以e的x次方等于1。图中显示了不同m值下函数的形状，可以看到随着m增大，函数整体上移，最小值也在增大。
现在我们来看关键的证明步骤。由方程(x₀+m)乘以e的x₀次方等于1，可以得到x₀加m等于e的负x₀次方。将此代入最小值表达式，经过化简得到f(x₀)等于e的x₀次方加x₀。要证明这个值大于0，我们设k(x)等于e的x次方加x。k'(x)等于e的x次方加1，恒大于0，所以k(x)严格单调递增。图中显示了k(x)的图像，它与x轴有唯一交点x*。由于x₀大于x*，而k(x)单调递增，所以k(x₀)大于k(x*)等于0。
最后我们完成证明。通过单调性分析，我们证明了x₀(m)大于等于x₀(2)，而x₀(2)大于x*。因此对所有m小于等于2，都有k(x₀(m))大于k(x*)等于0。这意味着函数的最小值f(x₀(m))等于e的x₀(m)次方加x₀(m)大于0。所以当m小于等于2时，f(x)恒大于0，证明完毕。总结一下，第一问通过求导数得到切线方程，第二问通过求最值证明不等式，关键在于运用单调性和比较法。