La integral es una de las operaciones más importantes del cálculo matemático. Nos permite calcular el área exacta bajo una curva, como vemos en esta gráfica. Esta área sombreada representa geométricamente lo que significa una integral definida.
Para entender mejor la integral, imaginemos dividir el área bajo la curva en rectángulos. Comenzamos con pocos rectángulos grandes, pero conforme aumentamos su número y reducimos su ancho, la suma de sus áreas se aproxima cada vez más al valor exacto de la integral.
Existen dos tipos principales de integrales. La integral indefinida nos da una función más una constante de integración, representando todas las antiderivadas posibles. La integral definida, evaluada entre dos límites a y b, nos da un valor numérico específico que representa el área exacta bajo la curva.
El Teorema Fundamental del Cálculo establece la relación inversa entre derivada e integral. Si la derivada de F(x) es f(x), entonces la integral de f(x) es F(x) más una constante. Por ejemplo, la derivada de x al cuadrado es 2x, por lo tanto la integral de 2x es x al cuadrado más C.
Las integrales tienen numerosas aplicaciones prácticas. Se utilizan para calcular áreas entre curvas, volúmenes de sólidos de revolución, longitudes de curvas, centros de masa y trabajo realizado por fuerzas variables. Son herramientas fundamentales en física, ingeniería, economía, estadística y muchas otras disciplinas científicas.