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柯西不等式，也称为柯西-施瓦茨不等式，是数学分析中的一个基本不等式。它描述了两个向量内积的绝对值不超过各自长度的乘积。这个不等式在线性代数、概率论、数学分析等多个数学分支中都有重要应用。
柯西不等式的实数序列形式是最基本的表述。对于任意两组实数序列，它们对应项乘积之和的平方，小于等于各自平方和的乘积。让我们看一个具体例子：取向量a等于3逗号4，向量b等于1逗号2。左边是3乘1加4乘2的绝对值等于11，右边是根号下3平方加4平方乘以根号下1平方加2平方，等于5乘根号5约等于11点18。确实11小于等于11点18，不等式成立。
柯西不等式的向量形式更加直观。它表明两个向量内积的绝对值不超过各自长度的乘积。由于向量内积等于两向量长度乘以夹角余弦值，而余弦值的绝对值总是小于等于1，所以不等式显然成立。当两向量夹角变化时，我们可以看到这个几何关系。
柯西不等式中等号成立的条件非常重要。等号成立当且仅当两个向量线性相关，也就是说存在常数c使得一个向量等于另一个向量乘以这个常数。在实数序列形式中，这意味着对应项成比例。我们可以看到，当两个向量平行时，它们就是线性相关的，此时柯西不等式取等号。
柯西不等式还有积分形式，适用于连续函数。它在数学的各个分支都有重要应用：在分析学中用于证明其他不等式，在函数空间理论中定义范数，在概率论中研究相关系数，在优化问题中估计界限。柯西不等式真正体现了数学的统一性和美感，是现代数学分析的重要基石。