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凸函数是数学分析中的重要概念。直观地说，凸函数的图像呈现向上弯曲的形状，就像一个碗的底部。在凸函数的图像上，任意两点之间的连线都位于函数图像的上方或与图像重合。
凸函数的严格数学定义是：对于定义域内的任意两点 x 和 y，以及任意参数 t 属于 0 到 1 之间，都满足不等式 f(tx + (1-t)y) 小于等于 tf(x) + (1-t)f(y)。这个不等式的几何意义是，函数在加权平均点处的值不超过函数值的加权平均。
通过对比可以更清楚地理解凸函数的特性。蓝色曲线是凸函数，任意两点间的连线都位于函数图像的上方。而红色曲线是非凸函数，连线会穿过函数图像。这种几何特性是判断函数凸性的直观方法。
让我们看几个常见的凸函数例子。首先是二次函数 f(x) = x²，它是最典型的凸函数。接下来是指数函数 f(x) = e^x，它在整个定义域上都是凸的。最后是绝对值函数 f(x) = |x|，虽然在原点不可导，但仍然是凸函数。这些例子展示了凸函数的多样性。
凸函数在许多领域都有重要应用。在优化问题中，凸函数保证了局部最优解就是全局最优解，这大大简化了求解过程。在机器学习中，许多损失函数都设计为凸函数，确保算法能找到最佳参数。在经济学和工程设计中，凸函数也被广泛用于建模和优化。凸函数的这些特性使其成为数学和应用科学中的重要工具。