勾股定理是数学中最著名的定理之一。它描述了直角三角形三边之间的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方。用数学公式表示就是 a 的平方加 b 的平方等于 c 的平方。这个定理在中国古代被称为勾股定理，在西方被称为毕达哥拉斯定理。
勾股定理不仅是一个代数关系，更有深刻的几何意义。它表明以两条直角边为边长的正方形面积之和，恰好等于以斜边为边长的正方形面积。这种面积关系为我们提供了直观理解定理的方式，也是许多几何证明的基础。
最著名的勾股数组是3、4、5。我们可以验证：3的平方是9，4的平方是16，9加16等于25，而5的平方也是25，完全符合勾股定理。这个3-4-5直角三角形在古代建筑和测量中被广泛使用，因为它容易构造且比例简单。除此之外，还有许多其他的勾股数组，如5-12-13、8-15-17等。
勾股定理有多种证明方法，这里展示经典的面积证明法。我们构造一个边长为a加b的大正方形，内部包含四个相同的直角三角形和一个边长为c的小正方形。大正方形的面积等于a加b的平方，也等于四个三角形面积加上中间正方形面积。通过面积相等的关系，我们可以推导出a的平方加b的平方等于c的平方。
勾股定理在现实生活中有着广泛的应用。最常见的是计算平面上两点之间的距离，如图所示的A点和B点。我们可以构造一个直角三角形，水平距离是4，垂直距离是3，根据勾股定理，斜边长度就是两点间的距离，等于5。此外，勾股定理还广泛应用于建筑工程、导航定位、物理学等领域，是数学与实际应用紧密结合的典型例子。