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极值点偏移问题是导数应用中的重要概念。当一个函数在两个不同的点x1和x2处取相等的函数值时，这两点的中点通常不等于函数的极值点x0。图中红点表示极值点，蓝点表示函数值相等的两点，绿点表示这两点的中点。我们可以看到，极值点与中点并不重合，这就是极值点偏移现象。
解决极值点偏移问题有四个基本步骤。首先求导并确定极值点，令f'(x)等于0解出x0。然后利用f(x1)等于f(x2)的条件构建关系方程。接下来引入极值点进行变量替换，设x1等于x0减a，x2等于x0加b。最后推导结论，证明a不等于b，从而得出极值点偏移的结论。图中展示了这种设置方法，其中a和b分别表示两点到极值点的距离。
构造辅助函数是解决极值点偏移问题的重要方法。我们设g(x)等于f(x0加x)减去f(x0减x)。通过分析g(x)的单调性，可以判断函数在极值点两侧的对称性。如果g'(x)大于0，则g(x)单调递增，当x大于0时，g(x)大于g(0)等于0，即f(x0加x)大于f(x0减x)。这说明函数图像关于极值点不对称，从而产生极值点偏移现象。
我们通过一个具体例题来分析极值点偏移问题。设f(x)等于x乘以ln(x)，若f(x1)等于f(x2)且x1不等于x2，要证明x1加x2大于2e。首先求导得f'(x)等于ln(x)加1等于0，解得极值点x0等于1/e。然后设x1等于1/e减a，x2等于1/e加b，其中a、b大于0。由f(x1)等于f(x2)的条件，可以证明a小于b，因此x1加x2等于2/e加上b减a，大于2/e。这个例子清楚地展示了极值点偏移的证明过程。