视频字幕
斯特林公式是数学中一个重要的近似公式，用于计算大数的阶乘。当我们需要计算像100的阶乘这样的大数时，直接计算变得非常困难。阶乘增长得极其迅速，比如20的阶乘就已经是一个18位数。斯特林公式为我们提供了一个精确且实用的解决方案。
斯特林公式的基本形式是：n的阶乘约等于根号下2πn乘以n除以e的n次方。这个公式包含两个重要的数学常数：自然对数的底e约等于2.71828，以及圆周率π约等于3.14159。公式由两部分组成：前面的根号项提供了主要的修正因子，后面的幂次项则是核心的近似部分。
现在让我们通过具体的数值例子来验证斯特林公式的精确性。对于n等于5，真实的5的阶乘是120，而斯特林公式给出的近似值约为118.02，误差约为1.65%。当n增加到10时，误差减小到0.83%。而当n达到20时，误差进一步减小到仅0.42%。这清楚地展示了斯特林公式随着n增大而变得越来越精确的特性。
通过图形我们可以更直观地理解斯特林公式的精确性。这里展示的是n的阶乘的自然对数与斯特林公式近似值的自然对数的比较。蓝色曲线代表真实的ln(n!)，红色曲线代表斯特林公式的近似值。我们可以看到，随着n的增大，两条曲线几乎完全重合，这说明斯特林公式在大数情况下提供了极其精确的近似。
斯特林公式在许多重要领域都有广泛应用。在概率论中，它用于近似计算大数的二项式系数。在统计力学中，它帮助计算系统的熵和配分函数。在信息论中，它用于估算连续随机变量的微分熵。在组合数学中，它简化了大数排列组合的计算。总的来说，斯特林公式是连接离散数学与连续分析的重要桥梁，为处理涉及大数阶乘的问题提供了强有力的工具。