此题是22年一道考研真题，解出此题,有完整解题思路和过程---**Question Stem:** 设有数列{xn}, 其中xn满足 -π/2 ≤ xn ≤ π/2, 则 () **Options:** (A) 若 lim_{n->\infty} cos(sin xn)存在, 则 lim_{n->\infty} xn存在 (B) 若 lim_{n->\infty} sin(cos xn)存在, 则 lim_{n->\infty} xn存在 (C) 若 lim_{n->\infty} cos(sin xn)存在, 则 lim_{n->\infty} sin xn存在, 但 lim_{n->\infty} xn不一定存在 (D) 若 lim_{n->\infty} sin(cos xn)存在, 则 lim_{n->\infty} cos xn存在, 但 lim_{n->\infty} xn不一定存在

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这是2022年考研数学的一道真题。题目给出数列xₙ在区间负π/2到π/2之间，要求分析四个选项中哪个结论正确。我们需要分析复合函数的极限性质。在给定区间内，正弦函数严格单调递增，余弦函数单调递减且值域为0到1。 现在分析选项A和C。这两个选项都涉及cos(sin xₙ)的极限。关键问题是：如果cos(sin xₙ)的极限存在，能否推出sin xₙ的极限存在？答案是否定的。我们可以构造反例：设yₙ等于sin xₙ，如果yₙ在正负二分之一之间振荡，那么cos(yₙ)的值恒定，但yₙ的极限不存在。这说明cos函数不是单射函数。 现在分析选项B和D，它们涉及sin(cos xₙ)的极限。这里有一个关键发现：如果sin(cos xₙ)的极限存在，那么cos xₙ的极限必然存在。原因是在区间[0,1]上，sin函数严格单调递增，因此是单射函数。由于cos xₙ的值域在[0,1]内，而sin函数在此区间是单射的，所以可以通过反函数得到cos xₙ的极限。但是，cos xₙ的极限存在并不能推出xₙ的极限存在。 现在用反例证明cos xₙ的极限存在不能推出xₙ的极限存在。设xₙ等于负1的n次方乘以π/4，那么cos xₙ等于cos(π/4)，恒等于根号2除以2。因此cos xₙ的极限存在且等于根号2除以2。但是xₙ在π/4和负π/4之间振荡，所以xₙ的极限不存在。这个反例说明选项B是错误的，而选项D是正确的。 通过完整的分析，我们可以得出结论。选项A错误，因为cos(sin xₙ)的极限存在不能推出xₙ的极限存在。选项B错误，因为sin(cos xₙ)的极限存在不能推出xₙ的极限存在。选项C错误，因为cos(sin xₙ)的极限存在不能推出sin xₙ的极限存在。只有选项D是正确的：如果sin(cos xₙ)的极限存在，那么cos xₙ的极限必然存在，但xₙ的极限不一定存在。因此，这道2022年考研数学真题的正确答案是D。