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这是一个关于对称多项式的问题。我们有两个已知条件和一个待求表达式。解决这类问题的关键是引入基本对称多项式，设x加y等于s，xy等于p，然后用s和p来表示所有的表达式。
我们引入基本对称多项式。设x加y等于s，xy等于p。将原来的两个方程用s和p来表示。第一个方程xy加x加y等于17变为p加s等于17。第二个方程x平方y加xy平方等于66，可以因式分解为xy乘以括号x加y，即ps等于66。这样我们得到了关于s和p的方程组。
s和p满足方程组s加p等于17，sp等于66。这意味着s和p是二次方程t平方减17t加66等于0的两个根。解这个二次方程得到t等于6或t等于11。所以可能的组合是s等于6、p等于11，或者s等于11、p等于6。但是我们需要验证x和y为实数的条件。当s等于6、p等于11时，判别式小于0，x和y为复数。当s等于11、p等于6时，判别式大于0，x和y为实数。因此s等于11，p等于6。
现在我们需要用s和p来表示目标表达式。将x的四次方加y的四次方加x的三次方y加xy的三次方加x平方y平方重新组合，可以写成x的三次方加y的三次方乘以x加y，再加上xy的平方。利用恒等式x的三次方加y的三次方等于x加y乘以x平方减xy加y平方，进一步化简得到s的四次方减3s平方p加p平方。
现在我们将s等于11和p等于6代入表达式s的四次方减3s平方p加p平方。计算11的四次方等于14641，3乘以11平方乘以6等于2178，6的平方等于36。所以结果是14641减2178加36，等于12463加36，最终答案是12499。