证明：对于任意正整数 n, 等式 (1+2+3+...+n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 成立。

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

今天我们要证明一个美妙的数学等式：对于任意正整数n，前n个自然数的和的平方等于前n个自然数的立方和。我们将使用数学归纳法来证明这个等式。数学归纳法包括三个步骤：首先验证基础情况，然后假设某个情况成立，最后证明下一个情况也成立。 首先验证基础情况。当n等于1时，左边是1的平方等于1，右边是1的立方也等于1。因此基础情况成立，我们可以继续下一步。 现在进行归纳步骤。假设当n等于k时等式成立。接下来证明当n等于k加1时等式也成立。我们展开左边的表达式，利用归纳假设和代数恒等式，最终得到右边的形式。这样就完成了数学归纳法的证明，等式对所有正整数n都成立。 现在我们验证基础情况。当n等于1时，左边是1的平方等于1，右边是1的立方也等于1。显然1等于1，所以基础情况成立。这为我们的数学归纳法证明奠定了基础。 接下来是归纳假设。我们假设当n等于k时，等式成立，即前k个自然数的和的平方等于前k个自然数的立方和。这里我们还要用到一个重要的公式：前k个自然数的和等于k乘以k加1再除以2。这个假设是数学归纳法的关键步骤。 现在进行关键的归纳步骤。我们需要证明当n等于k加1时等式也成立。首先将左边展开，利用前k项和的公式，然后进行代数化简。通过提取公因子和合并同类项，我们得到了一个更简洁的形式。 现在我们验证右边也得到相同的结果。利用归纳假设，将右边展开并化简，经过代数运算后，我们得到了与左边完全相同的表达式。因此左边等于右边，归纳步骤得到证明。根据数学归纳法原理，我们成功证明了对于任意正整数n，前n个自然数和的平方等于前n个自然数立方和的等式。证明完成！