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大家好！今天我们来探索圆的奥秘。首先看看这个圆，圆心用红点标出，红线是半径r，绿线是直径d。圆的周长就是绕圆一周的长度，我们用黄色来标示。科学家们发现，无论圆的大小如何，周长与直径的比值总是一个固定的常数，这个常数就是圆周率π，约等于3.14159。
现在我们来推导周长公式。想象把圆的周长展开成一条直线，这条线的长度就是周长C。科学家发现周长等于π乘以直径d，即C等于πd。由于直径d等于2倍半径r，所以我们可以得到C等于π乘以2r，也就是2πr。这样我们就得到了圆周长的两个重要公式。
接下来我们推导圆的面积公式。想象把圆切成很多相等的小扇形，就像切披萨一样。然后把这些扇形重新排列，相邻的扇形一个尖朝上，一个尖朝下。当扇形数量越来越多时，这个图形就越来越接近长方形。这个长方形的长是圆周长的一半，即πr，宽是半径r。所以面积等于πr乘以r，得到πr的平方。
让我们总结一下圆的重要公式。圆的周长公式有两种表示方法：C等于π乘以直径d，或者C等于2π乘以半径r。圆的面积公式是A等于π乘以半径r的平方。这里r是半径，d是直径，π约等于3.14159。黄色突出显示的是周长，橙色填充显示的是面积。掌握这些公式，我们就能轻松计算任何圆的周长和面积了。
现在我们来做一个具体的计算实例。假设有一个半径为5厘米的圆，我们来计算它的周长和面积。首先计算周长：C等于2πr，代入r等于5，得到C等于10π厘米，约等于31.4厘米。接下来计算面积：A等于πr的平方，代入r等于5，得到A等于25π平方厘米，约等于78.5平方厘米。通过这个实例，我们看到了如何运用圆的公式进行实际计算。