帮我解答这道题目---例 2.计算: $(1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})\cdots(1 - \frac{1}{2021^2}) = \underline{\quad \cdots \quad}$

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我们来解决这道乘积计算题。题目要求计算从2到2021的所有项，每一项都是1减去n的平方分之一的形式。这是一个经典的代数计算问题，需要运用巧妙的分解技巧。 解决这个问题的关键是利用平方差公式。首先观察每一项的结构，1减去n平方分之一可以写成n平方减1除以n平方。然后利用平方差公式，n平方减1等于n减1乘以n加1。这样每一项就变成了n减1乘以n加1除以n的平方。 现在我们重新组合这些项。原乘积可以写成从n等于2到2021的所有项的乘积。将每一项展开后，我们可以分别重组分子和分母。分子包含两部分：1到2020的连乘和3到2022的连乘。分母是2到2021每个数的平方的连乘。 最后进行计算。将2022的阶乘写成2022乘以2021的阶乘，然后约去公因子2021的阶乘。继续化简，2021的阶乘等于2021乘以2020的阶乘，再约去2020的阶乘。最终得到2022除以2倍的2021，即2022除以4042，化简后等于1011除以2021。因此，原乘积的值为1011分之2021。 解决这个问题的关键是利用平方差公式。首先观察每一项的结构，1减去n平方分之一可以写成n平方减1除以n平方。然后利用平方差公式，n平方减1等于n减1乘以n加1。这样每一项就变成了n减1乘以n加1除以n的平方。让我们以n等于3为例来验证这个分解过程。 现在我们重新组合这些项。原乘积可以分解为分子和分母的乘积。分子包含两部分：n减1的连乘和n加1的连乘。这形成了伸缩积的结构。在伸缩积中，中间的项会相互约分。第一部分从1乘到2020除以从2乘到2021，结果是二千零二十一分之一。第二部分从3乘到2022除以从2乘到2021，结果是2022除以2。 最后进行计算。将两个伸缩积的结果相乘：二千零二十一分之一乘以2022除以2。计算得到2022除以4042。我们可以将分子分母同时除以2进行化简，得到1011除以2021。这就是我们的最终答案。我们可以验证1011和2021的最大公约数为1，所以这已经是最简分数形式。