El cálculo diferencial es una rama fundamental del cálculo que estudia cómo cambian las funciones. Su concepto central es la derivada, que mide la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado, representando la tasa de cambio instantánea de la función.
La derivada es el concepto central del cálculo diferencial. Se define como el límite del cociente de diferencias cuando h tiende a cero. Geométricamente, cuando h se hace más pequeño, la recta secante se aproxima a la recta tangente, y su pendiente se convierte en la derivada.
Las reglas de derivación nos permiten calcular derivadas de manera sistemática. La regla de la potencia es fundamental: la derivada de x elevado a n es n por x elevado a n menos uno. También tenemos reglas para sumas, productos y funciones compuestas que facilitan el cálculo de derivadas complejas.
Una aplicación fundamental del cálculo diferencial es la optimización. Para encontrar máximos y mínimos, buscamos puntos donde la derivada es cero. En estos puntos críticos, la recta tangente es horizontal. La segunda derivada nos ayuda a clasificar si es un máximo o mínimo local.
El cálculo diferencial tiene aplicaciones extensas en múltiples campos. En física, la derivada de la posición respecto al tiempo nos da la velocidad. En economía, ayuda a optimizar costos y beneficios. En ingeniería, es esencial para el diseño y control de sistemas. Su capacidad para modelar cambios lo convierte en una herramienta fundamental en ciencia y tecnología.