讲解时尽量将知识点拆分细致---**Question Stem:** 2. 设 D 是由曲线 y=x², y=1 所围成的区域,则二重积分 ∬_D x³ydσ = _______. **Mathematical Formulas/Equations:** Region D is defined by the curves y = x² and y = 1. The double integral to evaluate is ∬_D x³y dσ. **Other Relevant Text:** None. **Chart/Diagram Description:** None.

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我们来解这道二重积分问题。首先需要确定积分区域D。区域D由两条曲线围成：抛物线y等于x的平方，和水平线y等于1。这两条曲线相交于两点：负1逗号1和1逗号1。积分区域D就是这两条曲线之间的封闭区域，如图中黄色阴影部分所示。 现在设置二重积分。我们选择先对y积分，再对x积分的积分次序。积分限的确定：x的范围是从负1到1，对于固定的x值，y的范围是从下边界x的平方到上边界1。图中绿色虚线展示了对于不同x值，y的积分范围如何变化。最终的二重积分表示为：从负1到1对x积分，内层是从x平方到1对x三次方y关于y的积分。 现在计算内层积分，也就是对y的积分。首先，由于x三次方对y来说是常数，我们可以将它提取到积分号外面。然后对y进行积分，y的积分是y的平方除以2。接下来代入上下限：上限是1，下限是x的平方。计算得到x三次方乘以二分之一减去x四次方的二分之一。最后化简得到x三次方减去x七次方，全部除以2。这就是内层积分的结果。 现在计算外层积分。我们需要计算从负1到1的积分，被积函数是x三次方减去x七次方除以2。关键观察是这个函数具有奇偶性。让我们验证：f负x等于负x三次方减去负x七次方除以2，等于负x三次方加x七次方除以2，这正好等于负f(x)。因此f(x)是奇函数。图中可以看到，函数关于原点对称，绿色区域和红色区域面积相等但符号相反。根据奇函数的性质，奇函数在对称区间上的积分等于零。 现在得出最终结果。我们的二重积分等于从负1到1对x积分，被积函数是x三次方减去x七次方除以2。由于这个被积函数是奇函数，而积分区间负1到1关于原点对称，根据奇函数的性质，这个积分的值为0。让我们总结整个解题过程：首先确定积分区域D，然后设置积分次序，计算内层积分得到简化形式，最后利用奇偶性得出结果。因此，二重积分的最终答案是0。