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一元二次方程是数学中的重要概念。它是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。标准形式是ax²+bx+c=0，其中a不等于0。一元表示只有一个未知数，二次表示未知数的最高次数是2，方程表示含有等号的等式。
现在我们通过一个实际情境来建构一元二次方程。有一块长方形土地，长比宽多3米。如果将长和宽都增加2米，则新长方形的面积是60平方米。我们需要求原长方形的宽。设原长方形的宽为x米，则长为x+3米。增加2米后，新长方形的宽为x+2米，长为x+5米。
现在我们根据题意建立方程。新长方形的面积等于长乘以宽，即(x+5)乘以(x+2)等于60。展开左边得到x²+2x+5x+10等于60。合并同类项得到x²+7x+10等于60。将60移到左边，得到标准形式x²+7x-50等于0。这就是我们要求解的一元二次方程，其中a等于1，b等于7，c等于负50。
现在我们使用求根公式来求解这个一元二次方程。求根公式是x等于负b加减根号下b²减4ac，再除以2a。代入a等于1，b等于7，c等于负50。计算判别式：7²减4乘1乘负50等于49加200等于249。所以x等于负7加减根号249除以2。根号249约等于15.78，得到两个解：x₁约等于4.39，x₂约等于负11.39。
一元二次方程是含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。它的一般形式是ax²+bx+c=0，其中a不等于0，a、b、c都是常数。比如x²+5x-6=0，2x²-3x+1=0，x²-4=0等都是一元二次方程的例子。
现在我们通过一个实际问题来学习一元二次方程。有一个长方形花园，长比宽多3米。如果将长和宽都增加2米，新的长方形面积为60平方米。我们要求原来长方形的宽是多少米。设原长方形的宽为x米，那么长就是x+3米。增加2米后，新长方形的宽为x+2米，长为x+5米。
现在我们来建立方程。首先设原长方形的宽为x米，那么长就是x+3米。新长方形的宽为x+2米，长为x+5米。根据新长方形面积为60平方米，我们可以得到方程：(x+2)(x+5)=60。展开这个方程：x²+5x+2x+10=60，即x²+7x+10=60，移项得到x²+7x-50=0。这就是我们建立的一元二次方程。
现在我们来求解这个一元二次方程x²+7x-50=0。我们使用求根公式：x等于负b加减根号下b²减4ac，全部除以2a。首先识别系数：a=1，b=7，c=-50。代入公式得到x等于负7加减根号下7²减4乘1乘负50，除以2。计算判别式：49加200等于249。所以x等于负7加减根号249除以2。我们得到两个解：x₁约等于4.39，x₂约等于负11.39。
最后我们需要检验解的实际意义。x₁约等于4.39米是正数，符合长方形宽度的实际意义。x₂约等于负11.39米是负数，不符合实际情况，应该舍去。我们可以验证：当x约等于4.39时，新长方形的面积确实约等于60平方米。因此，原长方形的宽是根号249减7除以2米，约等于4.39米。
总结一下，解一元二次方程应用题的步骤是：第一，设立未知数；第二，根据题目条件建立一元二次方程；第三，求解方程，可以使用因式分解法、配方法或求根公式法；第四，检验解是否符合题意和实际情况；第五，根据检验结果得出最终结论。通过这个花园设计问题，我们学会了如何从实际情境中建构一元二次方程并求解。