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费马点是几何学中的一个经典问题。给定一个三角形ABC，我们要在三角形内部或边界上找到一个点P，使得从点P到三个顶点A、B、C的距离之和PA加PB加PC达到最小值。这个问题最早由法国数学家费马提出，因此被称为费马点问题。
解决费马点问题的经典方法是托里拆利构造法，这是一种巧妙的几何变换方法。核心思想是通过旋转变换，将原本分散的三个距离之和PA加PB加PC转化为一条线段的长度，从而利用两点之间线段最短的基本几何原理来求解。具体做法是选择三角形的一个顶点，比如点A，然后进行60度的旋转变换。
现在我们来看具体的旋转变换过程。将三角形APC绕点A逆时针旋转60度，得到三角形AP'C'。由于旋转变换保持距离不变，所以PC等于P'C'。同时，由于P绕A旋转60度到P'，三角形APP'是一个等边三角形，因此PA等于PP'。这样，原来的距离之和PA加PB加PC就转化为PP'加PB加P'C'。
现在我们来完成费马点的构造。首先将点C绕点A逆时针旋转60度得到点C'，然后将点C绕点B顺时针旋转60度得到点C''。接下来连接BC'和AC''这两条线段，它们的交点就是我们要找的费马点P。在费马点处，连接P与三个顶点的线段之间的夹角都是120度，这是费马点的重要性质。
费马点问题还有一个重要的特殊情况需要注意。当三角形有一个内角大于120度时，费马点不在三角形内部，而是位于该钝角顶点上。这是因为在这种情况下，任何内部点移动到钝角顶点都会使距离之和减小。费马点的发现不仅解决了几何优化问题，在现代还广泛应用于网络设计、物流配送中心选址等实际问题中。