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勾股定理是数学中最著名的定理之一。它描述了直角三角形中三边之间的关系：直角边a的平方加上直角边b的平方，等于斜边c的平方。这个定理在几何学、代数学和实际应用中都有重要意义。
现在我们来证明勾股定理。最经典的证明方法是面积证明法。我们构造一个边长为a加b的大正方形，它可以分解为四个相同的直角三角形和一个边长为c的小正方形。通过计算面积的两种表示方法，我们可以得到勾股定理的公式。
勾股定理在实际问题中有广泛应用。当我们知道直角三角形的任意两边时，就可以求出第三边。比如这个例题：已知直角边a等于3，b等于4，要求斜边c。根据勾股定理，c的平方等于a的平方加b的平方，即c的平方等于9加16等于25，所以c等于5。
勾股定理在日常生活中有着广泛的应用。在建筑工程中，工人们用勾股定理检验墙角是否垂直；在导航系统中，用它计算两点间的直线距离；在体育场建设中，用它确定场地的对角线长度。比如一个长4米宽3米的矩形房间，对角线长度就是5米。勾股定理真正体现了数学与现实世界的紧密联系。