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微积分是数学中最重要的分支之一，它研究变化和累积。微积分包含两个核心概念：导数和积分。导数描述函数在某一点的瞬时变化率，几何上表示为曲线的切线斜率。积分则计算曲线下方的面积，表示累积量。这两个概念互为逆运算，构成了微积分的基本定理。
导数描述函数的瞬时变化率。几何上，导数等于函数图像上某点的切线斜率。我们可以通过割线逼近切线来理解导数。当两点间距离h逐渐趋近于零时，割线的斜率就趋近于切线斜率，这就是导数的定义。导数反映了函数在某点附近的变化趋势。
积分计算曲线下方的面积，表示函数值的累积。黎曼积分的思想是将曲线下的区域分割成许多小矩形，当矩形数量增加时，矩形面积之和越来越接近真实的曲线下面积。这就是定积分的基本思想。积分在物理中可以表示位移、功、概率等累积量。
微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它揭示了导数与积分之间的根本联系。定理表明，如果F是f的原函数，即F的导数等于f，那么f在区间a到b上的定积分等于F在b点的值减去F在a点的值。这个定理将导数和积分统一起来，表明它们是互逆的运算。
微积分在各个领域都有广泛应用。在物理学中，位置函数的导数是速度，速度的导数是加速度。在工程学中，微积分用于解决优化问题和信号处理。在经济学中，边际成本和边际收益都是导数的概念。微积分为我们提供了分析变化和优化的强大工具，是现代科学技术的基础。